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Ecuaciones Lineales 2x2

Las Ecuaciones Lineales 2x2 son aquellas que están conformadas por Dos Ecuaciones, cada una con Dos Incógnitas. Por Ejemplo:

         2x + 3y = 1          3x + 4y = 4            2x + y = 6

         3x - y = -1           6x − 2y = 2           4x + 2y = 1

Las Ecuaciones Lieales 2x2 tienen varios métodos de solución, los cuales son:

- Igualación

- Reducción

- Sustitución

- Regla de Cramer

Igualación:

Para explicar este método de solución, tenemos la siguiente ecuación lineales 2x2:

                             1) 3x + y = 11

                             2 )5x – y = 13

- Lo primero que deemos hacer es despejar una de las incógnitas, es este caso despejamos la Y, lo que nos da como resultado las ecuaciones 3 y 4:

                                3) y = 11 – 3x

                                4) y= 5x – 13

- Ahora resolvemos las ecuaciones 3 = 4:

                            11 – 3x = 5x – 13

                            3x – 5x = -13 -11

                                   8x = -24

                                  X = 24 / 8

                                      X = 3

- Por último, Reemplazamos X en cualquiera de las dos primeras ecuaciones (1 y 2) , en este caso reemplazamos en la ecuación 1:

                                 1) y = 11 – 3x

                                 Y = 11 – 3(3)

                                   Y= 11 – 9

                                      Y = 2

Respuesta:

X = 3

Y = 2

 

Reducción:

Utilizaremos la  misma ecuación lineal 2x2 para explicar el método de reducción:

                              1)3x + y = 11

                              2)5x – y = 13

- Lo primero que debemos hacer es sumar las dos ecuaciones lineales, para eliminar una de las incógnitas:

                               3x + y = 11

                               5x – y = 13

                              ___________

                               8x – 0 = 24

- Con este resultado, despejamos y hallamos X:

                               8x – 0 = 24

                                x = 24 / 8

                                     X = 3

Ahora debemos eliminar a X, para eso debemos multiplicar la ecuación 1 por 5 y la ecuación 2 por -3:

                    5(3x + y = 11) = 15x + 5y = 55

                  -3(5x – y = 13) = -15x + 3y = -39

- Luego sumamos los resultados de las multiplicaciones, para eliminar una de las incógnitas:

                              15x + 5y = 55

                            -15x + 3y = -39

                            ______________                                                           /   + 8y  =  16

- Por último, con este resultado despejamos y  hallamos Y:

                                   8y = 16

                                  Y = 16 / 8

                                     Y = 2

Resultado:

X = 3

Y = 2

 

 

 

Sustitución

Para explicar este método de solición también utilizaremos la misma ecuación lineal:

                                   1) )3x + y = 11

                                   2)5x – y = 13

- Lo primero que hacemos es escoger una de las dos  ecuaciones para despejarla y dejarla en función de la otra incógnita, en este caso escogemosla ecuación 1:

                                   1)3x + y = 11

                                     Y = 11 – 3x

- Luego con este resultado, reemplazamos Y en la ecuación 2:

                                 2)5x – y = 13

                               5x – 11 + 3x = 13

- Después, con este resultado despejamos y hallamos X:

                               5x – 11 + 3x = 13

                               5x + 3x = 13 + 11

                                     8x = 24

                                    X = 24 / 8

                                       X = 3

- Por último reemplazamos X en cualquiera de las dos primeras ecuaciones hallamos Y, en este caso reemplazamos en la ecuación 1:

                                      3x + y = 11

                                     3(3) + y = 11

                                       9 + y = 11

                                       Y = 11 – 9

Resultado:                         Y = 2

X = 3

Y = 2

 

Como podemos ver, no importa por cual método resolvamos la ecuación lineal 2x2, siempre dará el mismo resultado.

Ejercicios:

1- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de reducción:

1) 3x - 4y = -6

2) 2x + 4y = 16

                                 3x - 4y = -6

                                 2x + 4y = 16

                                ___________

                                 5x     /    = 10

5x = 10

x = 10 / 5

x = 2

                2(3x - 4y = -6) =  6x - 8y = -12

              -3(2x + 4y = 16) = -6x - 12y = -48

 

                                  6x - 8y = -12

                                 -6x -12y = -48

                                _____________

                                    /  -20y = -60

-20y =-60

Y = 60 / 20

Y = 3

                         Resultado:

                              X = 2

                               Y = 3

                                      

2- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de susttución:

1) 2x + y = 7

2) x + 3y = 11 

                                     2) 2x + y = 7

                                          y = 7 - 2x

 

      x + 3y = 11                    2x + y = 7                Resultados:

   x + 3(7 - 2x) = 11            2(2) + y = 7                     X = 2

  x + 21 -6x = 11 - 21             4 + y = 7                      Y = 3

         -5x = -11                      y = 7 - 4

         x = 10 / 5                        Y = 3

            x = 2

3-Resolver la siguente ecuación lineal 2x2 por el método de Igualación:

                                 1)3x - 2y = 8

                                 2)x + y = 6

 

                  1)3x - 2y = 8                2)x + y = 6

                   x  = 8 - 2y                      x = 6 - y

                          ______

                               3

         8 - 2y = 6 - y    ====     8 + 2y = 3(6 - y)

         _____                     =     8 + 2y = 18 - 3y

              3  

 

              8 + 2y = 18 - 3y              3x - 2y = 8

              2y + 3y = 18 - 8             3x - 2(2) = 8

                  5y = 10                        3x - 4 = 8                                       Y = 10 / 5                       x = 8 + 4

                     Y = 2                                _____

                                                                3

                                                        x = 12 / 3

                                                            x = 4

 

Resultado:

X = 4

Y = 2

4- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de Reducción:

1) y + 2x = 8

2) 4y + 3x = 17

                                    y + 2x = 8

                                   4y + 3x = 17

                                 ___________

                                  5y + 5x = 25

 

                         4(y + 2x = 8)  =  4y + 8x = 32

                       -1(4y + 3x = 17) = -4y - 3x = -17

 

                                    4y + 8x = 32

                                  -4y - 3x = -17

                                 ____________

                                     /      5x = 15

 

                     5x = 15                        y + 2x = 8

                  X = 15 / 5                      y + 2(3) = 8

                       X = 3                           y + 6 = 8

                                                            Y = 8 - 6

                                                              Y = 2

Resultado:

      X = 3

      Y = 2

Regla de Cramer:

                             1) 3x + y = 11

                             2) 5x - y = 13

- Lo primero que debemos hacer es hallar el Determinante del Sistema (∆s), y para esto debemos encerrar en una Matriz los coeficientes de las variables X y Y, y luego multiplicamos las diagonales, de esta manera:

 

∆s =     3       1        = (3)(-1) - (1)(5)          ∆s = -8

            5     -1        = -3 - 5

                              = -8

- Después de hallar el Determinante del Sistema, hallaremos las Determinantes de las Variables X y Y de la misma manera:

 

∆x =     11       1       = (11)(-1) - (1)(13)         ∆x = -24

            13     -1      = -11 - 13

                              = -24

 

∆y =     3      11          = (3)(13) - (11)(5)       ∆y = -16

            5      13          = 39 - 55

                                   = -16

 

- Por último, para hallar X dividiremos el resultado del Determinante del Sistema entre el resultado del Determinante de la X e igualmente para hallar Y, dividiremos el Determinante del Sistema entre el Determinante de la Y, de la siguiente forma:

 

         X = ∆s / ∆x                   Y = ∆s / ∆y 

         X = -24 / -8                   Y = -16 / -8

             X = 3                              Y = 2

 

Resultado:

    X = 3

    Y = 2

Método de Gauss Jordan:

Utililizaremos la siguiente ecuación lineal 2x2:

4x - 1 = 1

2x - 3y = 2

X = 1/10

Y = -3/5

 

Verificación:

4x - 1 = 1

4(1/10) -(-3/5) = 1

2/5 + 3/5 = 1

1 = 1

 

2x - 3y = 2

2(1/10) - 3(-3/5) = 2

1/5 + 9/5 = 2

2 = 2

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